Hauptmenü ufmache

Dr Fundamentalsatz vo dr Arithmetik oder Hauptsatz vo dr elementare Zaaletheorii säit us, ass jeedi natüürligi Zaal in Primfaktore cha zerlegt wärde und dass die Zerleegig in dr kanonische Daarstellig äidütig isch.

D Bewiise für die bäide Ussaage sin elementar, wärde klassisch as Widerspruchsbewiis formuliert und nütze d Woolordnig vo de natürlige Zaale us. Zum erste Mol isch dr Satz vollständig und korräkt vom Carl Friedrich Gauß in de Disquisitiones Arithmeticae bewiise worde. Er isch aber in ere liicht abgwandlete Form scho im Euklid bekannt gsi.

Dr Bewiis vo dr ExistänzBearbeite

Mä ordnet em Äins s leere Brodukt zue und jedi Primzaal sig sälber iiri Primfaktorzerleegig. Jetz muess mä zäige, ass alli rästlige natürlige Zaale daatsächlig us Primfaktore zämmegsetzt si.

Aagnoo, es git Zaale, wo mä nit as Brodukt vo Primzaale cha daarstelle, denn git s au e chliinsti sonigi Zaal (gnennt  ), wäge dr Woolordnig vo  . Wil   denn weder s Äins non e Primzaal isch, het s e Däiler, und eso existiere zwäi natürligi Zaale   mit   und bäidi si gröösser as Äins und chliiner as  . Wil   die chliinsti Zaal isch, wo käi Brodukt vo Primfaktore isch, müesse   und   also Primfaktorzerleegige haa, öbbe   und  . Denn isch aber   au e Primfaktorzerleegig vo  , im Widerspruch zu was mä aagnoo het.

Dr Bewiis vo dr ÄidütigkäitBearbeite

Aagnoo, es git natürligi Zaale wo jedi meereri underschidligi Zerlegige het, denn git s wider au e chliinsti, gnennt  . Die cha käi Primzaal si und zwäi Zerleegige vo   chönne käi gmäinsame Primfaktor   enthalte, wil denn au   zwäi verschiideni Zerleegige hätti und chliiner as   weer, im Widerspruch zur Aanaam, ass   minimal isch. Es gilt also öbbe  , und doo si   und   Primzaale, und es gilt au  . S abschliessende Argumänt isch s Lemma vom Euklid: Wenn e Primzaal e Brodukt däilt, so däilt s au äine vo de Faktore. Wil   dur   cha däilt wärde, muess äine vo de Faktore vo dr andere Zerleegig dur   däilbar si und das isch  , denn   isch e Primzaal. Also daucht jede Primfaktor immer in bäide Zerleegige uf und dorum sin si idäntisch.

  Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Primfaktorzerlegung“ vu de dütsche Wikipedia.

E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.