Niteuklidischi Geometrii

Niteuklidischi Geometrie si Spezialisierige vo dr absolute Geometrii. Si underschäide sich vo dr euklidische Geometrii, wo au as e Spezialisierig vo dr absolute Geometrii cha formuliert wärde, in däm, ass in iine s Parallelenaxiom nit gältet.

Wie zwäi Graade, wo mit ere Normale verbunde si, zuenander stöön, isch in de hüperbolische, euklidische und elliptische Geometrie verschiide.

Grundlaage

Die niteuklidische Geometrie si nid entwigglet worde, zum unseri Erfaarig vom Ruum genauer z mache. Es si axiomatischi Theorie, wo sich mit em Brobleem vo de Paralleele usenandersetze. Es git Modäll für niteuklidischi Geometrie, z. B. die vom Felix Klein und Henri Poincaré, was bewiist, ass s Parallelenaxiom vom Euklid nit us de andere Axiome cha induziert wärde und vo iine unabhängig isch.

Mä bechunnt niteuklidischi Geometrie, wemm mä s Parallelenaxiom us em Axiomsüsteem usloot oder es änderet. Die grundlegende Mööglikäite, wie mä s cha ändere, si:

Zun ere Grade und eme Punggt usserhalb vo dr Grade git s käini Paralleele. Zwäi verschiideni Grade in ere Eebeni schniide enander also immer. Das füert zun ere elliptische Geometrii. En aaschauligs Modäll von ere zwäidimensionale elliptische Geometrii isch d Geometrii uf ere Chuugeleflechi. Do isch d Summe vo de Winggel vom ene Dreiegg gröösser as 180°, dr Umfang vom ene Kräis isch chliiner as $2\pi r$ , und d Flechi chliiner as $\pi r^{2}$ . In dr elliptische Geometrii gälte d Axion vo dr Aaordnig nüme unveränderet.
Zun ere Grade und eme Punggt usserhalb vo dr Grade git s mindestens zwäi Paralleele. Alli andere Axiom chönne gültig bliibe. Mä bechunnt e hüperbolischi Geometrii. Mit de Modäll vom Klein und Poincaré cha si uf zwäi Arte beschriibe wärde. Im Chliine (oder lokal) cha si uf ere Sattelflechi mit ere konstante Gaußsche Chrümmig (dr sogenannte Psöidosfääre) veraaschauligt wärde. D Summe vo de Winggel vom ene Dreiegg isch chliiner as 180°, dr Umfang vom ene Kräis gröösser as $2\pi r$ , und si Flechi gröösser as $\pi r^{2}$ .

E Dreiegg uf ere Sattelflechi.

Hützudags spiilt die niteuklidischi Geometrii e wichdigi Rolle in dr theoretische Füsik und in dr Kosmologii. Die allgemäini Relatiwidäätstheorii säit, ass d Geometrii vom Wältall vo dr euklidische Geometrii abwiicht, wil d Grawitazioonsfälder dr Ruum „chrümme“. Öb d Geometrii vom Universum „im Groosse“ sfäärisch (elliptisch) oder hüperbolisch isch, ghöört zu de groosse aktuelle Frooge in dr Füsik.

Mathematiker, wo wichdigi Biidrääg gläistet häi

Litratuur

Felix Klein: Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie. VDM Müller, Saarbrücken 2006, ISBN 978-3-8364-0097-8
Henry Manning: Non-euclidean geometry. Gutenberg eText
Julian L. Coolidge: The elements of non-Euclidean geometry. Cornell Univ. Library, Cornell 2008, ISBN 978-1-4297-0446-5
Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, Translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
Norbert A'Campo and Athanase Papadopoulos, Notes on hyperbolic geometry. In: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1--182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, 2012, ISBN 978-3-03719-105-7, doi:10.4171/105.
Marvin J. Greenberg: Euclidean and non-Euclidean geometries - development and history. Freeman, New York 2008, ISBN 978-0-7167-9948-1
Boris A. Rozenfel'd: A history of non-Euclidean geometry - evolution of the concept of a geometric space. Springer, New York 1988, ISBN 3-540-96458-4
János Bolyai, (et al.): Non-euclidean geometries. Springer, New York 2006, ISBN 978-0-387-29554-1
Benno Klotzek: Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien. 1. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-1583-0.

Weblingg

Cinderella, e kommerziells Brogramm für euklidischi und niteuklidischi Geometrie