Hauptmenü ufmache

D Kwaternione (vo lat. quaternio „Vierhäit“) oder au d Hamilton-Zaale si e Beriich vo Zaale, wo dr Beriich vo de reelle Zaale erwiteret, äänlig wie s die komplexe Zaale mache, goot aber über die uuse.

Kwaternione si braktisch für zum dr dreidimensionali euklidischi Ruum und anderi Rüüm z beschriibe.

KonstrukzionBearbeite

D Kwaternione entstöön us de reelle Zaale, wemm drei nöiji Zaale drzue duet (Adjunkzion), wo mä aagleent an die komplex-imaginäri Äihäit d Nääme  ,   und   gee het. So bechunnt mä e vierdimensionals Zaalesüsteem (mathematisch: e Wektorruum) mit eme Realdäil, wo us äinere reelle Komponänte bestoot, und eme Imaginärdäil us drei Komponänte, wo au Wektordäil häisst.

Jede Kwaternion cha mä äidütig in dr Form

 

mit reelle Zaale  ,  ,  ,   schriibe. D Elimänt   si e Basis, d Standardbasis vo de Kwaternione über  . D Addizion isch komponäntewiis und wird vom Wektorruum gerbt. Multiplikativ wärde die nöije Zaale  ,  ,   noch de Hamilton-Regle

 

verchnüpft. D Skalarmultiplikazioon  , wo au vom Wektorruum gerbt wird[1] und wo d Skalar bin ere aagluegt wärde, ass si mit jedem Elimänt chönne usduscht wärde, zämme mit dr Addizioon und de Hamilton-Regle mache s mööglig, ass mä d Multiplikazioon vo dr Basis uf alli Kwaternione cha erwitere. Wil eso au jede Skalar   as   in   iibettet wird, cha   as Underkörper vo   ufgfasst wärde.

D Multiplikazioon isch assoziativ und erfüllt au s Distributivgsetz, macht also us de Kwaternione e Ring. Si isch allerdings nit kommutativ, d. h. für zwäi Kwaternione   und   si die bäide Brodukt   und   im Normalerfall verschiide. S Zentrum vo  , also d Mängi vo de Elimänt, wo mit alle Elimänt kommutiere, isch exakt  .

D Kwaternione bilde e Schiefkörper (Divisionsring), wil s zu jeder Kwaternion   e inversi Kwaternion   git mit

  .

Wil d Kommutatividäät feelt, brucht mä Notazione mit Bruchstrich, wie z. B.   nit.

Zämmegfasst: D Kwaternione sin e vierdimensionali Divisionsalgebra über   – und bis uf d Isomorfii die äinzigi. Historisch si d Kwaternione s erste Bischbil vom ene Divisionsring, wo die zwäiti Verchnüpfig von em nit kommutativ isch.

LitratuurBearbeite

  • Max Koecher, Reinhold Remmert: Hamiltonsche Quaternionen. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer-Verlag, Berlin 1983. ISBN 3-540-12666-X

  • John Horton Conway, Derek A. Smith: On Quaternios and Octonions, A K Peters Ltd, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (änglisch)
  • Jack B. Kuipers: Quaternions and Rotation Sequences, Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (änglisch)
  • W. Bolton: Complex Numbers (Mathematics for Engineers), Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (änglisch)
  • Andrew J. Hanson: Visualizing Quaternions, Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (änglisch)

  • S. Eilenberg and I. Niven: The „fundamental theorem of algebra” for quaternions. Bull. Amer. Soc. 50(1944), 246-248.

WeblinggBearbeite

FuessnooteBearbeite

  1. Mä sött sä nit mit em Skalarbrodukt verwäggsle.
  Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Quaternion“ vu de dütsche Wikipedia.

E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.