Dräiäcksungliichung
Dialäkt: Mìlhüüserdiitsch |
Ìn dr Geometrii ìsch d’ Dräiäcksungliichung a Sàtz, wo sajt, àss a Dräiäcksitta kìrzer odd’r so làng wia d’ Summa vu da baida àndra Sitta-n-ìsch.
D’ Dräiäcksungliichung schpììlt àui ìn àndra Tailgebiata vu dr Màthemàtik a wìchtiga Rolla, wia zem Biischpììl ìn dr Lineààra Àlgebra odd’r dr Funkzioonsànàlüüsa.
Bschriiwung vu dr Ungliichung
änderefìr àllgmaina Dräiäcka
ändereNoh dr Dräiäcksungliichung ìsch ìm Dräiäck d’ Summa vu da Länga vu zwai Sitta un schtets mìndeschtens so grooss wia d’ Länga vu dr drìtta Sitta :
- .
Maa kààt àui sààga, dr Àbschtànd vun A uff B ìsch klainer odd’r soo grooss wia dr Àbschtànd vun A uff C un vu C uff B zamma. Aifàcher gsajt: „Dr diräkta Waag ìsch ìmmer dr kìrzescht.“
S’ Gliichhaitszaicha gìlt numma, wänn un Tailschträcka vun sìnn – àlso wänn dr Dräiäck äntàrtet ìsch.
Waaga dr Sümmetrii hàt maa-n-àui , un domìt ; maa hàt àui nàdììrlig . Àlso ìnsgsàmt:
- .
D’ lìnka Ungliichung nännt maa-n-àui mànckmol umgekehrta Dräiäcksungliichung.
D’ Dräiäcksungliichung düat Àbschtànds- un Betrààgsfunkzioona kàràkterisiara. Sa wìrd àlso àls Axiom fìr àbschtràkta-n-Àbschtàndsfunkzioona ìn meetrischa Ràuima gsätzt.
fìr rachtwìnkliga Dräiäcka
ändereÌsch d’ Länga vu dr Hüpothenüüsa un sìnn un d’ Kàtheetalänga vu’ma rachtwìnkliga Dräiäck, soo gìlt d’ schpeziälla Dräiäcksungliichung .[1][2]
-
wia dr Fàll vu dr Ungliichhait üsssììht
-
wia dr Fàll vu dr Gliichhait üsssììht
fìr reälla Zààhla
ändereFìr reälla Zààhla un gìlt:
Bewiis: Säjga un reälla Zààhla. Äntwaader ’s ìsch odd’r ’s ìsch . Fìr dr Fàll gìlt , un d’ Summa làsst sìch waaga un nach oben àbschätza dur . Ìnsgsàmt hàt maa somìt . Fìr dr Fàll gìlt , un làsst sìch waaga un eewafàlls dur nach oben àbschätza, so dàss àui ìn dam Fàll .
d’ umgekehrta Dräiäcksungliichung
ändereWia biim Dräiäck kààt maa-n-àui a umgekehrta Dräiäcksungliichung harlaita
Uffgrund dr Dräiäcksungliichung gìlt Wänn maa iisätzt, nooh hàt maa
Wänn maa schtàttdässa sätzt, nooh hàt maa
zamma àlso (dänn fìr beliabiga reälla Zààhla und mìt un gìt àui )
Wänn maa dur ärsätzt, noh ärhàlt maa-n-àui
Ìnsgsàmt àlso
- fìr àlla
fìr kùmpläxa Zààhla
ändereFìr kùmpläxa Zààhla gìlt:
Bewiis:
- Wial àlla Sitta nìtnegàtiiv sìnn, ìsch s’ Kwàdriara-n-a Äkwiwàlanzformung un maa ärhàlt
- dr Ìwwerschtrìch bediitet doo a kùmpläxa Konjugàzioon. Wänn maa gliicha-Üssdrìck schtriicht un sätzt, soo blibbt
- z’ zaiga. Mìt ärhàlt maa
- bzw.
- wàs waaga un dr Monotonii vu dr (reälla) Wurzelfunkzioon ìmmer ärfìllt ìsch.
Wia biim reälla Fààl folgt üss dara Ungliichung àui
- fìr àlla
vu Betrààgsfunkzioona fìr Käärwer
ändereZamma mìt àndra Forderunga wìrd a Betrààgsfunkzioon fìr a Käärwer àui dur d’
Dräiäcksungliichung |
gsätzt. Sa müass fìr àlla galta. Wänn àlla Forderunga ärfìllt sìnn, noh ìsch a Betrààgsfunkzioon fìr dr Käärwer
Ìsch fìr àlla gànza , nooh nännt maa dr Betrààg nìtàrkimeedisch, sunscht àrkimeedisch.
Bii nìtàrkimeedischa Betraag gìlt d’
verschärfta Dräiäcksungliichung |
Sa màcht dr Betrààg züa ainem ultràmeetrischa. Umgekehrt ìsch jeeder ultràmeetrischa Betrààg nìtàrkimeedisch.
fìr Summa un Ìntegrààla
ändereWämm’r mehrmols d’ Dräiäcksungliichung bzw. vollschtandiga Ìndukzioon ààwanda düat, nooh ärhàlt maa
fìr reälla odd’r kùumpläxa Zààhla . Dia Ungliichung gìlt àui, wänn maa Ìntegrààla ààschtälla vu Summa betràchtet:
Ìsch a Riemann-ìntegriarbààra Funkzioon, nooh gìlt
- .[3]
Dàs gìlt àui fìr kùmpläxwaartiga Fukzioona .[4] Nooh gìtt’s naamlig a kùmpläxa Zààhl , so dàss
- und .
Wial
reäll ìsch, müass gliich Null sìì. Üsserdam gìlt
- ,
ìnsgsàmt àlso
- .
fìr Wektoora
ändereFìr Wektoora gìlt:
- .
D’ Gìltikait vu dara Beziihung sììht maa dur Quadrieren
- ,
unt’r Ààwandung vu dr Cauchy-Schwarzscha Ungliichung:
- .
Àui doo folgt wia-n-ìm reälla Fàll
so wia
fìr Kugeldräiäcka
ändereÌn Kugeldräiäcka gìlt d’ Dräiäcksungliichung ìm Àllgmaina nìt. Sa gìlt jedoch, wänn ma sìch uff eulerscha Dräiäcka beschrànkt, àlso salla, ìn dana jeeda Sitta kìrzer àls a hàlwer Groosskrais ìsch.
Ìn dr Àbbìldung doo dràà gìlt zwààr
jedoch ìsch .
fìr nomiarta Ràuima
ändereÌn’ma normiarta Ràuim wìrd d’ Dräiäcksungliichung ìn dr Form
àls aina vu da Aigaschàfta gfordert, wo d’ Norm fìr àlla müass ärfìlla. Bsunderscht folgt àui doo
so wia
- fìr àlla .
Ìm Schpeziààlfàll vu da Lp-Ràuima wìrd d’ Dräiäcksungliichung Minkowski-Ungliichung gnännt un mìttels dr Hölderscha Ungliichung bewììsa.
fìr meetrischa Ràuima
ändereÌn’ma meetrischa Ràuim wìrd àls Axiom fìr d’ àbschtàkta-n-Àbschtàndsfunkzioon verlàngt, àss d’ Dräiäcksungliichung ìn dr Form
fìr àlla ärfìllt ìsch. Ìn jeedem meetrischa Ràuim gìlt àlso per Definizioon d’ Dräiungsungliichung. Drüss làss sìch àblaita, àss ìn’ma meetrischa Ràuim àui d’ umgekehrta Dräiäcksungliichung
fìr àlla gìlt. Üsserdam gìlt fìr beliabiga d’ Ungliichung
- .
Lüag àui
ändereLìteràtüür
ändere- Dreiecksungleichung. In: Brockhüüs Enzüklopädii. Brockhüüs (brockhaus.de [abgerufen am 8. Oktober 2023]).
- Triangle inequality. In: Encyclopædia Britannica. Encyclopædia Britannica, Inc. (britisches Englisch, britannica.com [abgerufen am 7. Oktober 2023]).
- Triangle inequality. In: Paul E. Black (Hrsg.): Dictionary of Algorithms and Data Structures. National Institue of Standards and Technology, 2004 (amerikanisches Englisch, nist.gov [abgerufen am 7. Oktober 2023]).
Weblìnks
ändere- Eric W. Weisstein: Triangle inequality. In: MathWorld (änglisch).
- Triangle inequality. In: PlanetMath. (änglisch)
Ainzelnoohwiisa
ändere- ↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, diischschproochiga-n-Üssgààb vu Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berliin/Haidelbäärch 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, S. 18
- ↑ Canadian Mathematical Olympiad 1969 Problem 3, veräffentligt vu dr Canadian Mathematical Society
- ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 85.1
- ↑ Walter Rudin: Real and Complex Analysis. MacGraw-Hill, 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem 1.33
Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vu dere Version vum Artikel „Dreiecksungleichung“ vu de hochdütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde. |