Dräiäcksungliichung

Dialäkt: Mìlhüüserdiitsch

Ìn dr Geometrii ìsch d’ Dräiäcksungliichung a Sàtz, wo sajt, àss a Dräiäcksitta kìrzer odd’r so làng wia d’ Summa vu da baida àndra Sitta-n-ìsch.

D’ Dräiäcksungliichung schpììlt àui ìn àndra Tailgebiata vu dr Màthemàtik a wìchtiga Rolla, wia zem Biischpììl ìn dr Lineààra Àlgebra odd’r dr Funkzioonsànàlüüsa.

Bschriiwung vu dr Ungliichung

ändere

fìr àllgmaina Dräiäcka

ändere
 
Dreieck

Noh dr Dräiäcksungliichung ìsch ìm Dräiäck d’ Summa vu da Länga vu zwai Sitta   un   schtets mìndeschtens so grooss wia d’ Länga vu dr drìtta Sitta  :

 .

Maa kààt àui sààga, dr Àbschtànd vun A uff B ìsch klainer odd’r soo grooss wia dr Àbschtànd vun A uff C un vu C uff B zamma. Aifàcher gsajt: „Dr diräkta Waag ìsch ìmmer dr kìrzescht.“

S’ Gliichhaitszaicha gìlt numma, wänn   un   Tailschträcka vun   sìnn – àlso wänn dr Dräiäck äntàrtet ìsch.

Waaga dr Sümmetrii hàt maa-n-àui  , un domìt  ; maa hàt àui nàdììrlig  . Àlso ìnsgsàmt:

 .

D’ lìnka Ungliichung   nännt maa-n-àui mànckmol umgekehrta Dräiäcksungliichung.

D’ Dräiäcksungliichung düat Àbschtànds- un Betrààgsfunkzioona kàràkterisiara. Sa wìrd àlso àls Axiom fìr àbschtràkta-n-Àbschtàndsfunkzioona ìn meetrischa Ràuima gsätzt.

fìr rachtwìnkliga Dräiäcka

ändere

Ìsch   d’ Länga vu dr Hüpothenüüsa un sìnn   un   d’ Kàtheetalänga vu’ma rachtwìnkliga Dräiäck, soo gìlt d’ schpeziälla Dräiäcksungliichung  .[1][2]

fìr reälla Zààhla

ändere

Fìr reälla Zààhla   un   gìlt:  

Bewiis: Säjga   un   reälla Zààhla. Äntwaader ’s ìsch   odd’r ’s ìsch  . Fìr dr Fàll   gìlt  , un d’ Summa   làsst sìch waaga   un   nach oben àbschätza dur  . Ìnsgsàmt hàt maa somìt  . Fìr dr Fàll   gìlt  , un   làsst sìch waaga   un   eewafàlls dur   nach oben àbschätza, so dàss àui ìn dam Fàll  .

d’ umgekehrta Dräiäcksungliichung

ändere

Wia biim Dräiäck kààt maa-n-àui a umgekehrta Dräiäcksungliichung harlaita

Uffgrund dr Dräiäcksungliichung gìlt   Wänn maa   iisätzt, nooh hàt maa

 

Wänn maa schtàttdässa   sätzt, nooh hàt maa

 

zamma àlso (dänn fìr beliabiga reälla Zààhla   und   mìt   un   gìt àui  )

 

Wänn maa   dur   ärsätzt, noh ärhàlt maa-n-àui

 

Ìnsgsàmt àlso

  fìr àlla  

fìr kùmpläxa Zààhla

ändere

Fìr kùmpläxa Zààhla gìlt:

 

Bewiis:

Wial àlla Sitta nìtnegàtiiv sìnn, ìsch s’ Kwàdriara-n-a Äkwiwàlanzformung un maa ärhàlt
 
dr Ìwwerschtrìch bediitet doo a kùmpläxa Konjugàzioon. Wänn maa gliicha-Üssdrìck schtriicht un   sätzt, soo blibbt
 
z’ zaiga. Mìt   ärhàlt maa
 
bzw.
 
wàs waaga   un dr Monotonii vu dr (reälla) Wurzelfunkzioon ìmmer ärfìllt ìsch.

Wia biim reälla Fààl folgt üss dara Ungliichung àui

  fìr àlla  

vu Betrààgsfunkzioona fìr Käärwer

ändere

Zamma mìt àndra Forderunga wìrd a Betrààgsfunkzioon fìr a Käärwer   àui dur d’

Dräiäcksungliichung  

gsätzt. Sa müass fìr àlla   galta. Wänn àlla Forderunga ärfìllt sìnn, noh ìsch   a Betrààgsfunkzioon fìr dr Käärwer  

Ìsch   fìr àlla gànza  , nooh nännt maa dr Betrààg nìtàrkimeedisch, sunscht àrkimeedisch.

Bii nìtàrkimeedischa Betraag gìlt d’

verschärfta Dräiäcksungliichung  

Sa màcht dr Betrààg züa ainem ultràmeetrischa. Umgekehrt ìsch jeeder ultràmeetrischa Betrààg nìtàrkimeedisch.

fìr Summa un Ìntegrààla

ändere

Wämm’r mehrmols d’ Dräiäcksungliichung bzw. vollschtandiga Ìndukzioon ààwanda düat, nooh ärhàlt maa

 

fìr reälla odd’r kùumpläxa Zààhla  . Dia Ungliichung gìlt àui, wänn maa Ìntegrààla ààschtälla vu Summa betràchtet:

Ìsch   a Riemann-ìntegriarbààra Funkzioon, nooh gìlt

 .[3]

Dàs gìlt àui fìr kùmpläxwaartiga Fukzioona  .[4] Nooh gìtt’s naamlig a kùmpläxa Zààhl  , so dàss

  und  .

Wial

 

reäll ìsch, müass   gliich Null sìì. Üsserdam gìlt

 ,

ìnsgsàmt àlso

 .

fìr Wektoora

ändere

Fìr Wektoora gìlt:

 .

D’ Gìltikait vu dara Beziihung sììht maa dur Quadrieren

 ,

unt’r Ààwandung vu dr Cauchy-Schwarzscha Ungliichung:

 .

Àui doo folgt wia-n-ìm reälla Fàll

 

so wia

 

fìr Kugeldräiäcka

ändere
 
zwai Kugeldräiäcka

Ìn Kugeldräiäcka gìlt d’ Dräiäcksungliichung ìm Àllgmaina nìt. Sa gìlt jedoch, wänn ma sìch uff eulerscha Dräiäcka beschrànkt, àlso salla, ìn dana jeeda Sitta kìrzer àls a hàlwer Groosskrais ìsch.

Ìn dr Àbbìldung doo dràà gìlt zwààr

 

jedoch ìsch  .

fìr nomiarta Ràuima

ändere

Ìn’ma normiarta Ràuim   wìrd d’ Dräiäcksungliichung ìn dr Form

 

àls aina vu da Aigaschàfta gfordert, wo d’ Norm fìr àlla   müass ärfìlla. Bsunderscht folgt àui doo

 

so wia

  fìr àlla  .

Ìm Schpeziààlfàll vu da Lp-Ràuima wìrd d’ Dräiäcksungliichung Minkowski-Ungliichung gnännt un mìttels dr Hölderscha Ungliichung bewììsa.

fìr meetrischa Ràuima

ändere

Ìn’ma meetrischa Ràuim   wìrd àls Axiom fìr d’ àbschtàkta-n-Àbschtàndsfunkzioon verlàngt, àss d’ Dräiäcksungliichung ìn dr Form

 

fìr àlla   ärfìllt ìsch. Ìn jeedem meetrischa Ràuim gìlt àlso per Definizioon d’ Dräiungsungliichung. Drüss làss sìch àblaita, àss ìn’ma meetrischa Ràuim àui d’ umgekehrta Dräiäcksungliichung

 

fìr àlla   gìlt. Üsserdam gìlt fìr beliabiga   d’ Ungliichung

 .

Lüag àui

ändere

Lìteràtüür

ändere
  • Dreiecksungleichung. In: Brockhüüs Enzüklopädii. Brockhüüs (brockhaus.de [abgerufen am 8. Oktober 2023]).
  • Triangle inequality. In: Encyclopædia Britannica. Encyclopædia Britannica, Inc. (britisches Englisch, britannica.com [abgerufen am 7. Oktober 2023]).
  • Triangle inequality. In: Paul E. Black (Hrsg.): Dictionary of Algorithms and Data Structures. National Institue of Standards and Technology, 2004 (amerikanisches Englisch, nist.gov [abgerufen am 7. Oktober 2023]).

Weblìnks

ändere
  Commons: Dräiäcksungliichung – Sammlig vo Multimediadateie

Ainzelnoohwiisa

ändere
  1. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, diischschproochiga-n-Üssgààb vu Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berliin/Haidelbäärch 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, S. 18
  2. Canadian Mathematical Olympiad 1969 Problem 3, veräffentligt vu dr Canadian Mathematical Society
  3. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 85.1
  4. Walter Rudin: Real and Complex Analysis. MacGraw-Hill, 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem 1.33
  Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vu dere Version vum Artikel „Dreiecksungleichung“ vu de hochdütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.