D Lorentz-Dransformazioone

D Lorentz-Dransformazioone, noch em Hendrik Antoon Lorentz, verbinde in dr Spezielle Relatiwidäätstheorii und der Äthertheorii vom Lorentz d Zit- und d Ortskoordinate, wo mit ene verschiideni Beobachder aagää, wenn und wo Ereigniss stattfinde. Es handlet sich drbii um gradlinig gliichförmig bewegti Beobachder und um Koordinate, wo chreftefreiji Däili dur graadi Wältlinie laufe. Bi Lorentz-Dransformazioone blibt d Liechtgschwindigkäit $c$ konstant, umkeert isch d Konstanz vo dr Liechtgschwindigkäit dr Usgangspunkt vom Einstein sinere Härläitig vo dr Lorentz-Dransformazioon.

Vo dr Lorentz-Dransformazioon di betroffe

• d Ortswariable, wo zum Gschwindigkäitswektor ${\vec {v}}$ parallel si
• die elektromagnetische Fäldkomponänte, wo zum Gschwindigkäitswektor ${\vec {v}}$ sänkrächt si
• d Zit.

D Lorentz-Dransformazioon für Ort und Zite

Wenn sich e Beobachder eme andere Beobachder gegenüber mit ere konstante Gschwindigkäit $v$ in dr $x$-Richdig bewegt, so hänge d Koordinate $(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$, won er eme Eräignis zueschribt, dur d Lorentz-Transformazioon

$t'=\gamma (t-{\frac {v}{c^{2}}}\,x),\quad x'=\gamma (x-v\,t)\quad \ y'=y\ ,\quad \ z'=z$

mit de Koordinate $(t,x,y,z)$ vom andere Beobachder für s gliiche Eräignis zämme, wenn die bäide Bezugssüsteem zum Zitpunkt $t=t'=0$ mitinander überiistimme. $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ isch die üübligi Bezäichnig für e Lorentzfaktor.

Wenn dr bewegti Beobachder e Gschwindikäit ${\vec {v}}$ het, wo in irgend e Richdig goot, so zerlegt mä dt Koordinatewektor ${\vec {r}}=(x,y,z)$ vom Eräigniss in zwäi Komponänte, äini parallel die anderi sänkrächt zum Gschwindigkäitswektor: ${\vec {r}}={\vec {r_{\parallel }}}+{\vec {r_{\bot }}}$.

$t'=\gamma \left(t-{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {r}}}{c^{2}}}\right)\ ,\quad {\vec {r_{\parallel }}}'=\gamma \left({\vec {r_{\parallel }}}-{\vec {v}}t\right)\ ,\quad {\vec {r_{\bot }}}'={\vec {r_{\bot }}}\ .$

D Lorentz-Dransformazioon für s elektromagnetische Fäld

Scho bi chliine Gschwindigkäite $v\ll c$ dräte im elektromagnetische Fäld relativistischi Effekt uf. Das cha mä mit eme äifache Gedankeexperimänt verstoo:

• E Beobachder, wo e Laadig beobachdet, wo sich relativ zu iim nit bewegt, misst en elektrischs Fäld, aber wil käi Stroom fliesst, käi magnetischs Fäld.

• Wenn sich dr Beobachder aber uf d Laadig zue oder von ere furt bewegt, so merkt er, ass sich wäge dr Beweegig s elektrische Fäld in dr Zit veränderet, dass es also e Verschiebigsstroom git. Das bedütet, dass dr Beobachder noch de erwiterete Durchfluetigsgsetz e B-Fäld misst. Für e Beobachder git s also zuesätzlig zum elektrische Fäld au e magnetischs Fäld.

Dorum muess mä wie bi de Ort und Zite au die elektromagnetische Fäldkomponänte ere Lorentz-Dransformazioon underzooge wärde, wenn dr Beobachder s Bezugssüsteem wäggslet. Für die elektrische und magnetische Gröösse gältet:

${\begin{aligned}&{\vec {E}}'=\gamma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)+(1-\gamma ){\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}}{{v}^{2}}}{\vec {v}}\\&{\vec {B}}'=\gamma \left({\vec {B}}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\vec {v}}\times {\vec {E}}\right)+(1-\gamma ){\frac {{\vec {B}}\cdot {\vec {v}}}{{v}^{2}}}{\vec {v}}\\&{\vec {D}}'=\gamma \left({\vec {D}}+{\frac {1}{{c}^{2}}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right)+(1-\gamma ){\frac {{\vec {D}}\cdot {\vec {v}}}{{v}^{2}}}{\vec {v}}\\&{\vec {H}}'=\gamma \left({\vec {H}}-{\vec {v}}\times {\vec {D}}\right)+(1-\gamma ){\frac {{\vec {H}}\cdot {\vec {v}}}{{v}^{2}}}{\vec {v}}\\&{\vec {j}}'={\vec {j}}-\gamma \cdot \rho \cdot {\vec {v}}+\left(\gamma -1\right){\frac {{\vec {j}}\cdot {\vec {v}}}{{v}^{2}}}{\vec {v}}\\&{\rho }'=\gamma \cdot \left(\rho -{\frac {1}{{c}^{2}}}{\vec {j}}\cdot {\vec {v}}\right)\\\end{aligned}}$

In ere nitrelatiwistische Nööcherig, d. h. für Gschwindigkäite $v\ll c$, gältet ungfäär $\gamma \approx 1$. In däm Fall muess mä zwüsche de Ort und Zite in verschiidene Bezugssüsteem käi Underschiid mache, und für d Fäldgröösse gältet:

${\begin{aligned}&{\vec {E}}'={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\\&{\vec {B}}'={\vec {B}}-(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}\approx {\vec {B}}\\&{\vec {E}}={\vec {E}}'-{\vec {v}}\times {\vec {B}}'\\&{\vec {B}}={\vec {B}}'+(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}'\approx {\vec {B}}'\\\end{aligned}}$

Litratuur

• Charles Kittel, Walter D. Knight, Malvin A. Ruderman: Mechanik (= Berkeley Physik Kurs. Bd. 1). Vieweg, Braunschweig 1973, ISBN 3-528-08351-4, S. 232: Kap. 11.
• Norbert Dragon: Geometrie der Relativitätstheorie. (PDF-Datei; 2,37 MB)

Weblingg

• Interaktivs Java Applet

Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Lorentz-Transformation“ vu de dütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.