Beschlünigung

Physikalischi Grössi
Name	Beschleunigung
Formelzeiche vo dr Grössi	${\vec {a}}$
Grössen- und Eiheite- system Eiheit Dimension SI $\mathrm {\,{\frac {m}{s^{2}}}}$ L·T –2 CGS $\mathrm {\,{\frac {cm}{s^{2}}}}$ L·T –2 Planck Planck-Beschleunigung ħ–1/2·G–1/2·c7/2

Under Beschlünigung verstaht mer di momentani ziitlichi Änderigsratä vo dä Gschwindigkeit. D Beschlünigung isch ä vektorielli (also grichteti) Grössi. Si spillt bi dä Beschriibig vo Bewegigsvorgäng und d Beiflussig dur Chräft vo ebe däne Bewegigsvorgäng e zentrali Rollä.

I dä Umgangsspröch wird hüfig nur e Gschwindigkeitszuenahm als Beschlünigung bezeichnet. Im physikalischä Sinn isch aber jedi Änderig vonere bewegig e Beschlünigung. Das schlüsst e Abnahm vo de Gschwindigkeit – also biispilswiis en Brämsvorgang – genauso ii wie e Richtigsänderig bi glichbliibendem Gschwindigkeitsbetrag – biispilswiis binere Kurvä mit em Auto.

Di internationali Einheit (SI-Einheit) vo dä Beschlünigung isch $\mathrm {\,m/s^{2}} .$ Binere Beschlünigung vo $1\mathrm {\,m/s^{2}}$ veränderet sich d Gschwindigkeit pro Sekundä um $1\mathrm {\,m/s}$. I dä Geowüssäschaftä isch für $0{,}01\mathrm {\,m/s^{2}}$ au d Einheit Gal gebrüüchlich.

Beschlünigung chunt bi allnä realä Bewegigsvorgäng, z. B. vo Fahrzüg, Flugzüg oder Lift, vor. Si händ wäge de i däm Zämehang ufträtende Trägheitschräft meh oder wenigär dütlichi Uswirkigä uf debii beförderti Mänschä und Sachä.

Berächnig

Geometrischi Konstruktion vo dä Differänz vo dä Gschwindigkeitsvektorä

D Beschlünigung ${\vec {a}}$ als Gschwindigkeitsänderig pro Ziitintervall laat sich bsunders eifach im Spezialfall vo dä gradlinigä Bewegig mit ere konstantä Beschlünigung berächnä. Wänn d Gschwindigkeit $v(t_{1})$ zum Ziitpunkt $t_{1}$ und d Gschwindigkeit $v(t_{2})$ zum Ziitpunkt $t_{2}$ bekannt sind, so berächnet sich d Beschlünigung innerhalb vo dä Ziitspanni $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ us dä Differänz vo de Gschwindigkeitä $\Delta v=v(t_{2})-v(t_{1})$ gmäss

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

Binere konstantä Beschlünigung, wo nöd id Richtig vom Gschwindigkeitsvektor ${\vec {v}}$ erfolgt, muess d Differänz vo dä Gschwindigkeitä $\Delta {\vec {v}}={\vec {v}}(t_{2})-{\vec {v}}(t_{1})$ vektoriell bestimmt wärde, wie d Abbildig zeigt. Wänn sich d Beschlünigung während de betrachtäte Ziitspanni änderet, so chunt mer mit de obigä Rächnig di mittleri Beschlünigung über, au Durchschnittsgschwindigkeit gnännt.

Zum d Beschlünigung für en beschtimmtä Ziitpunkt (Momentanbeschlünigung) statt für es Ziitintervall z'berächnä, so muess dä Übergang vom Differänzquotiänt zum Differentialquotiänt vollzogä wärde. D Beschlünigung isch dänn di erschti ziitlichi Ableitig vo dä Gschwindigkeit nach dä Ziit:

${\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {v}}}(t)$

Will d Gschwindigkeit d Ableitig vom Ort nach dä Ziit isch, cha mer d Beschlünigung au als zweiti Ableitig vom Ortsvektor ${\vec {r}}$ darschtellä:

${\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {\vec {r}}}(t)$

Di ziitlichi Ableitig vo dä Beschlünigung (also di dritti Ableitig vom Ortsvektor nach dä Ziit) wird Ruck ${\vec {j}}$ gnännt:

${\vec {j}}(t)={\dot {\vec {a}}}(t)={\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}(t) \over \mathrm {d} t^{3}}$

Rächnigsbiispiil zu dä Mässig über d Gschwindigkeit

Es Auto bewegt sich zum Ziitpunkt $t_{1}=0\,\mathrm {s}$ mit enere Gschwindigkeit vo $v_{1}=10\,\mathrm {\tfrac {m}{s}}$ im Vergliich zu dä Strass (das entspräched 36 km/h). Zäh Sekundä spöter, zum Ziitpunkt $t_{2}=10\,\mathrm {s}$ bsitzt s e Gschwindigkeit vo $v_{2}=30\,\mathrm {\tfrac {m}{s}}$ (das sind 108 km/h). Di durchschnittlichi Beschlünigung vom Auto isch dänn

$a={\frac {v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}}=2\,\mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}} .$

Dä Wärt vo de Beschlünigung bedütet, dass d Gschwindigkeit vom Auto pro Sekundä um $2\,\mathrm {\tfrac {m}{s}}$ (also um 7,2 km/h) zuenimmt.

Einheit vo dä Beschlünigung

D Masseinheit für d Aagab vonere Gschwindigkeit isch standardgmäss d Einheit Meter pro Quadratsekunde (m/s²), also (m/s)/s. Allgemein chönd Belaschtigä vo technischä Grät oder d Aagab vo Belaschtigsgränzä als g-Chraft, also als "Chraft pro Massä", erfolgä. Das wird als Villfachs vo dä normalä Erdbeschlünigung (Normfallbeschlünigung) g = 9,80665 m/s² aagä. I dä Geowüssäschaftä isch näbebi au d Einheit Gal = 0,01 m/s² gebrüüchlich.

Umgangssprachlichi Verwändig

Dä Begriff Beschlünigung wird umgangssprachlich au dänn bruucht, wänn sich d "Gschwindigkeitszuenahm" nöd uf e rüümlichi Gschwindigkeit bezieht. Mit Beschlünigung cha debii zum Biispiil di zweiti ziitlichi Ableitig vonere dimensionslosä Grössi oder au di erschti ziitlichi Ableitig vonere Frequänz oder Wachstumsratä gmeint si.

Es paar Biispiil:

• D Winkelbeschlünigung isch d Änderig vo dä Winkelgschwindigkeit, also di zweiti ziitlichi Ableitig vome Winkel.
• D "Beschlünigung" vonere chemischä Reaktion bezeichnet d Erhöchig vo dä Reaktionsgschwindigkeit, zum Biispiil dur en Katalysator.
• D PAL-Beschlünigung isch e Technik, wo d Bildfrequänz erhöht wird, also d "Gschwindigkeit", wo s Bild wächslet.
• I dä Psychologii wird dä Begriff Beschlünigung für di subjektiv empfundeni zuenehmendi Gschwindigkeit im täglichä Läbe bruucht. Zum Teil wird die au mit dä Alterig in Verbindig braacht.

Bi Chraftfahrzüg wird di erreichbari positivi Beschlünigung als en wesentlichä Parameter zu dä Klassifizierig vo dä Leischtig verwändet. Aagä wird meischtens en Mittelwärt i dä Form „I … Sekundä vo 0 uf 100 km/h“ (au 160 oder 200 km/h).

Mässig vo dä Beschlünigung

Es git prinzipiell zwei Möglichkeitä, Beschlünigungä z'mässä oder aazgä. D Beschlünigung vo me Objekt cha kinematisch bezüglich eme Wäg (Ruumkurvä) betrachtät wärde. Dezue wird d Momentangschwindigkeit bestimmt, ihri Änderigsratä entspricht dä Beschlünigung. Di anderi Möglichkeit isch, en Beschlünigungssensor z'verwände. Dä bestimmt mithilf vonere Testmassä d Trägheitschraft. Us däre cha dänn mit Hilf vo de newtonschä Grundglichig vo dä Mechanik uf d Beschlünigung gschlossä wärde.

Zämehang zwüsched Beschlünigung und Chraft

De Isaac Newton hät als erschtä beschribä, dass zum Ufträtte vonere Beschlünigung e Chraft notwändig isch. Sis Gsetzt beschriibt d Proportionalität vo Chraft und Beschlünigung für Körper imene Inertialsystem. Es Inertialsystem isch es Bezugssystem, wo sich chräftefreii Körper gradlinig glichförmig bewegäd. D Beschlünigung isch dänn s Verhältnis vo Chraft $F$ zu Massä $m\colon$

${\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}$

Sött d Beschlünigung imene beschlünigtä Bezugssystem berächnät wärde, so sind zuesätzlich Trägheitschräft z'berücksichtigä.

Rächebiispiil zu dä Mässig über d Trägheit

Imene Lift befindet sich ä Fäderwaag, wo e Masse vo eim Kilogramm hanget ($m=1\,\mathrm {kg}$). Wänn de Lift im Veergliich zu dä Erdä rueht, so zeigt d Waag e Gwichtschraft vo 9,81 Newton aa. D Schwärebelaschtig betreit also

$a={\frac {F}{m}}=9{,}81\,\mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}} .$

Zeigt d Fäderwaag en Momänt spöter zum Biispiil ä Chraft vo 14,76 Newton aa, so isch d Beschlünigung vom Lift $4{,}95\,\mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}}$ im Vergliich zu dä Erdä nach obä.

Beschlünigung entlang eme Wäg

Allgemeini Beschriibig

Tangänteeinheitsvektor und Normaleneinheitsvektor binere Ruumkurvä

D Beschlünigung vome Körper, wo sich entlang eme Wäg (Ruumkurvä) bewegt, laat sich mit de Frenetschä Formlä berächnä. Das ermöglicht e Ufteilig vo de Beschlünigung ine Beschlünigung i Bewegigsrichtig (Tangentialbeschlünigung) und ine Beschlünigung sänkrächt zu de Bewegigsrichtig (Normal- oder Radialbeschlünigung).

De Vektor vo de Gschwindigkeit ${\vec {v}}$ cha als Produkt us sim Betrag $v$ und em Tangänteeinheitävektor ${\hat {t}}$ dargstellt wärde:

${\vec {v}}=v\,{\hat {t}}$

De Tangänteeinheitsvektor isch en Vektor vo de Längi $1$, wo a jedem Punkt vom Wäg d Richtig vo de Bewegig aazeigt. D Ableitig vo dem Usdruck nach de Ziit isch d Beschlünigung:

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right){\hat {t}}+v\left({\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} t}}\right)$

Di ziitlichi Ableitig vom Tangänteeinheitsvektor cha über d Bogelängi $s$ berächnet wärde:

${\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} t}}=\underbrace {\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} s}} _{{\hat {n}}/\rho }\underbrace {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}} _{v}={\frac {v}{\rho }}{\hat {n}}$

Debii füert mer de Chrümmigsradius $\rho$ und de Normaleinheitsvektor ${\hat {n}}$ ii. De Chrümmigsradius isch es Mass für d Stärchi vo de Chrümmig und de Normaleinheitsvektor zeigt sänkrächt zu de Bahnkurvä id Richtig vom Chrümmigsmittelpunkt. Mer definiert d Tangentialbeschlünigung $a_{t}$ und Radialbeschlünigung $a_{n}$ als

$a_{t}={\dot {v}}$

$a_{n}={\frac {v^{2}}{\rho }}.$

D Beschlünigung laat sich somit i beidi Komponänte ufteile:

${\vec {a}}=a_{t}{\hat {t}}+a_{n}{\hat {n}}$

Isch d Tangentialbeschlünigung Null, so änderet de Körper nur sini Bewegigsrichtig. De Betrag vo de Gschwindigkeit bliibt debii erhaltä. Demit mer de Betrag änderet, muess also e Chraft würkä, wo ei Komponänte i de Richtig vom Tangentialvektor bsitzt.

Zentrifugalbeschlünigung

En Sonderfall vo de obestehendä Überlegig isch e Chreisbewegig mit konstantem Gschwindigkeitsbetrag. I däm Fall isch d Beschlünigung nach inä uf de Chreismittelpunkt hii grichtet, also immer sänkrächt zu de momentanä Bewegigsrichtig uf de Chreisbahn; si heisst Zentripetalbeschlünigung. Dur sii wird nöd de Betrag vo de Gschwindigkeit veränderet, sondern nur ihri Richtig, was ebe grad e Chreisbahn git. Bezüglich eme mitrotierende (und darum beschlünigte) Bezugssystem wird es Objekt vom Mittelpunkt weg nach ussä beschlünigt, dänn wird d Bezeichnig Zentrifugalbeschlünigung verwändet.

E Zentrifugä nutzt de Effäkt, demit Sachä konstantä Beschlünigungä usgsetzt wärde chönd. De Chrümmigsradius entspricht debii em Abstand $r$ vom Zentrifugierguet zu de Drähachsä, wills sich um e Chreisbewegig handlet. D Beschlünigung, wo s Zentrifugierguet de Bahngschwindigkeit $v$ usgsetzt isch, laat sich denn au dur d Winkelgschwindigkeit $\omega$ usdruckä:

$a_{n}={\frac {v^{2}}{r}}=r\,\omega ^{2}$

Negativi und positivi Beschlünigung

Bime Körper, wo sich entlang enere Linie bewegt, wird de Tangänteeinheitsvektor üblicherwiis in Bewegigsrichtig gwählt. Isch d Tangäntebeschlünigung negativ, so verringert sich d Gschwindigkeit vom Körper. Bi Fahrzüg redet mer vonere Verzögerig oder Bremsig vom Fahrzüg. Wird i däm Zämehang dänn de Begriff Beschlünigung bruucht, so isch meischtens e positivi Tangentialbeschlünigung gmeint, wo d Gschwindigkeit vom Fahrzüg erhöht.

Awändig vo Beschlünigungsmässigä

Wänn d Afangsgschwindigkeit und -position bekannt isch, ermöglicht di kontinuierlichi Mässig vo de Beschlünigung e Positionsbeschtimmig zu jedem Ziitpunkt. D Position laat sich da drus eifach dur zweifachi Integration über d Ziit bestimmt. Für de Fall, dass biispilswiis s GPS-System vome Flüger usfallt, ermöglicht die Methodä e relativ gnaui Ortsbeschtimmig über en mittellangä Ziitruum. Es Navigationssystem, wo d Position dur d Mässig vo dä Beschlünigung bestimmt, heisst Trägheitsnavigationssystem.

Beschlünigung und Potential

Zweidimensionalä Querschnitt dur es Gravitationspotential vonere homogenä Chuglä. D Wändepünkt befinded sich a dä Oberflächi vo dä Chuglä.

Beschlünigungsfäld und Potential

Isch e Chraft uf es Teili proportional zu sinere Massä, z. B. bi de Gravitation, so laat si sich au dur es Beschlünigungsfäld beschribä. Das Vektorfäld ordnet jedem Ort ${\vec {r}}$ im Ruum e Beschlünigung ${\vec {a}}({\vec {r}})$ zue. Es laat sich hüfig als Gradient vome Potential $\Phi ({\vec {r}})$ schriibä. Aaschaulich laat sich s Potential als Schüsslä wie im Bild rächts uffassä. Dä negativi Gradient liferet en Vektor, wo id Richtig vom steilschte Abfall (maximali negativi Stiigig) zeigt. Dä git also aa, i weli Richtig e Chuglä rollä würd, wänn mer si i die Schüsslä legä würd. Mit eme Potential oder Beschlünigungsfäld laat sich denn für jedi Afangsbedingig, also Afangsgschwindikgeit und -position, d Bewegig vome Teili (Trajektorie) berächne.

Au wänn d Chraft uf es Teili nöd proportional zu sinere Massä isch, laat sich hüfig es Potential und es Chraftfäld ufstellä, biispilswiis es Coulombpotential für es elektrisch gladnes Teili. I däm Fall isch d Beschlünigung aber vo de Massä $m$ und vo dä Ladig $q$ vom Teili abhängig:

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\,{\vec {r}}=-{\frac {q}{m}}\nabla \Phi ({\vec {r}})$.

Konstanti Beschlünigung

Trajektorie (Afangsposition ${\vec {r}}_{0}$ und Afangsgschwindigkeit ${\vec {v}}_{0}$) imene homogene Beschlünigungsfäld

Binere glichmässige Beschlünigung isch s Beschlünigungsfäld ziitlich konstant und homogen, also d Beschlünigung i allne Punkt vom Ruum i Betrag und Richtig identisch, biispilswiis glich em Vektor ${\vec {g}}$:

${\vec {a}}({\vec {r}})={\vec {g}}$ für alle ${\vec {r}}$

Miteme söttige Asatz laat sich lokal (nöd global) s Gravitationsfäld vo dä Erdä beschribä. Es Teili imene söttige Gravitationspotential bewegt sich uf enere parabelförmige Bahn, bime Gravitationsfäld au Wurfparablä gnännt. Au bime freie Fall (ohni Luftwiderstand) werded alli Körper gliich beschlünigt. Uf de Erdä betreit d Beschlünigung i Richtig Erdmittelpunkt ungefähr 9,81 Meter pro Quadratsekundä. S Gravitationspotential vo de Erdä isch aber nöd ganz chugelsymmetrisch, will d Erdgstallt vonere Chuglä abwiicht (Erdabplattig) und de inneri Ufbou vo de Erdä nöd komplett homogen isch (Schwäreanomaliä). D Erdbeschlünigung cha drum regional liecht unterschidlich si. Unabhängig vom Potential muess bi Mässige zum Teil au d Beschlünigung dur d Erdrotation berücksichtigt wärde. En Beschlünigungsmässer für d Bestimmig vo de Schwäribeschlünigung wird Gravimeter gnännt.

Äquivalänzprinzip und allgemeini Relativitätstheorii

Nach em Äquivalenzprinzip vo de allgemeine Relativitätstheorii laat sich nöd unterscheidä, öb sich en Beobachter uf de Erdä befindet oder inere Ragetä, wo im Wältruum mit Erdbeschlünigung g beschlünigt.

S Äquivalenzprinzip seit, dass imene frei fallende Bezugssystem kei Gravitationsfäld existiert. Es gat uf d Überlegige vom Galileo Galilei und Isaac Newton zrugg, wo gmerkt händ, dass alli Körper unabhängig vo ihrere Massä vo de Gravitation gliich beschlünigt werded. En Beobachter imene Labor cha nöd feschtschtellä, ob sich sis Labor i de Schwerelosigkeit oder im freie Fall befindet. Er chan innerhalb vo sim Labor au nöd feschtschtellä, öb sis Labor glichförmig beschlünigt wird oder öbs sich imene üssere homogene Gravitationsfäld befindet.

Mit de allgemeine Relativitätstheorii laat sich es Gravitationsfäld dur d Metrik vo de Ruumziit, also dur d Massvorschrift imene vierdimensionalä Ruum us Orts- und Ziitkoordinatä, usdruckä. Es Inertialsystem hät e flachi Metrik. Nödbeschlünigti Beobachter beweged sich immer uf em chürzischte Wäg (Geodäte) dur d Ruumziit. Imene flachä Ruum, also imene Inertialsystem, isch das e gradi Wältliniä. Gravitation bewürkt e Ruumverchrümmig. Das bedüütet, dass d Metrik vom Ruum nüme flach isch. Das füert dezue, dass d Bewegig, wo inere vierdimensionalä Ruumziit enere Geodät folgt, im drüüdimensionalä Aschauigsruum meischtens als beschlünigti Bewegig längs enere krümmte Kurvä wahrgno wird.

Biispiil

Grössenordnig vo typischä Beschlünigungä us em Alltag:

• De ICE erreicht e Beschlünigung vo öppe 0,5 m/s², en moderne S-Bahn-Triibwagä sogar 1,0 m/s².
• Während de erschte Schritt vomene Sprint würked Beschlünigungä vo öppe 4 m/s² uf de Sportler.
• D Chuglä bim Chugelstossä wird i de Abstossphasä mit öppe 10 m/s² beschlünigt.
• Binere Wöschmaschinä würked im Schlüdergang meh als 300 g (≈ 3'000 m/s²) uf de Trummelinhalt.
• Binere Nähmaschinä würked uf d Nadlä Beschlünigungä vo bis zu 6000 g (≈ 59 km/s²).
• En Tennisbölle chan Beschlünigungä vo bis zu 10'000 m/s² erfahrä.
• Bi Nesselzellä wird de Stachel mit bis zu 5'410'000 g (≈ 53 Millionen m/s²) beschlünigt!

Weblinks

• Untersuechigä zu de Beschlünigung a de Atwoodschen Fallmaschine (PDF-Datei; 325 kB)
• Umrächne zwüschet de verschidene Einheite vo de Beschlünigung
• Lernvideo vo de Khan Academy zum Thema Beschlünigung