S Eliminationsverfahre vom Gauss

S Gauß-Verfahre oder s Eliminationsverfahre vom Gauss isch en Algorithmus im mathematische Deilgebiet vo dr lineare Algebra und dr Numerik. Es wird brucht zum lineari Gliichigssystem z löse. Es fuesst uf elementare Umformige, wo zwar s Gliichigssystem ändere, aber d Lösig erhalte. Eso isch s möglig jedes Gliichigssystem uf Stuefeform z bringen, so dass mä dur ei Elimination von ere Unbekannte noch dr andere d Lösig cha uusefinde oder d Lösigsmängi cha abgläse wärde.

D Zahl vo de Operatione wo s brucht isch bin ere $n\times n$-Matrix vo dr Grössenornig $n^{3}$. In siiner Grundform isch dr Algorithmus aafellig für Rundigsfähler, aber mit chliine Abändrige (Pivotisierig) isch er für allgemeini, lineari Gliichigssystem s Standardlösigsverfahre und isch e Deil vo alle wäsentlige Programmbibliotheke für numerischi lineari Algebra wie NAG, IMSL und LAPACK.

Beispiil

$X-3Y+2Z=-4$

$-X+Y+3Z=11$

$-X-2Y+2,5Z=-2,5$

Lösungswääg

1. Vorwärtselimination: s Gliichigssystem wird uf Stuefeform brocht, das heisst, in jeder Ziile het s mindestens ei Variabli weniger weniger as in dr Ziile obedra
2. Ruckwärtsisetze: mä foot bi dr letschte Ziile aa, wo s nume no ei Variabli het, und mä dr Wärt von ere aso kennt, ersetzt die Variabli in dr Ziile obedraa mit ihrem Wärt, so dass in au in dere Ziile nume no ei Variabli stoht. Mä macht eso wiiter, bis in alle Ziile nume no en einzigi Variabli stoht und ihre Wärt.

Lösung:

Zerscht d Vorwärtselimination. Mä loot die ersti Ziile lo stoh:

$X-3Y+2Z=-4$

zellt die ersti und zweiti Ziile zämme und bechunnt as nöji zweiti Ziile

$-2Y+5Z=7$

zellt die ersti und dritti Ziile zämme (-5Y + 4,5Z = -6,5) und subtrahiert vo däm 2,5 mol die neu zweiti Ziile (-5Y + 12,5Z = 17,5) was e nöji dritti Ziile git:

$8Z=24$

d. h. Z=3.

Denn chunnt s Ruckwärtsisetze. Mä ersetzt Z in dr zweite Ziile mit 3 und bechunnt

$-2Y+15=7$

das macht Y=4. Die ersti Ziile wird zu

$X-12+6=-4$

d. h. X=2.