Integralrechnung

D Integralrechnig isch en Beschtandteil von dr mathematische Analysis. Es gaht drum, Fläche, wo mit dr Geometrie nit berechebar sind, z berechne. Mit dem sog. beschtimmte Integral chamme denn au Ruuminhalte, Oberfläche, Schwerpunkte usw. berechne.

Als Biischpiel sölli do d Flächi vom ene Parabel-Flächeschtück diene. Das Schtück wird im Funktions-Diagramm obe durch ne exponentiell schtiigendi Funktions-Kurve begrenzt; die andere Siite (z. B. en Teil von dr x-Achse) sind einfachi Gradine. Me luegt am beschte z'erscht en linear schtiigendi Funktionsgrade im 45-Grad-Winkel an. Wenn me dort es Flächeschtück vom Punkt 0 uus drunter legt, so berechnet's sich geometrisch ganz einfach durch d Quadratformel geteilt durch 2: F = 1/2 b² (b für Breiti, wo in dem Fall natürlich gleich Höhi isch)

Bim Parabel-Flächeschtück isch's Vorgehe so, dass in das Schtück z'erscht mal einigi Süüle (Balke) iiträgt werde, damit sii s gliichmässig uusfülle (gliichi Breiti vo de Süüle). Dodermit ergitt sich, dass obe bii dr Parabel-Kurve Fläche-Schtück vo unterschiedlicher Grösseordnig (nach obe grösser werdend) frei bliibe. Wenn me die Süüle nun alli (immer no mit gliicher Breiti) schmäler macht, so wird d Flächi vo de frei bliibende Schtück immer chliiner, je schmäler die Süüle werded. Bii unendlich schmale Süüle verschmelze sii mit dr Funktionskurve zu dr Flächi vom Parabelschtück.

Wenn me Süüle ins Flächschtück von dr erwähnte linear schtiigende Funktion iizeichnet, chamme sehr einfach bewiise, dass sii, unendlich verchliineret, zu dr erwähnte Formel 1/2 b² füehre. Die Formel isch fürs Parabel-Schtück allerdings öppis schwieriger herzleite. Durch s Prinzip von dr vollschtändige Induktion von ere geometrische Folg chunnt me dört aber (explizit hergleitet im Buech von dr Literaturangab) uuf d Formel F = 1/3 b³

Wenn mir für b zum Biischpiel 2 uuf dr x-Achse iisetze, denn ergibt sich für F vom Parabel-Schtück 0 bis 2 (uuf dr x-Achse) 1/3 2³ = 2 2/3

D Integral-Formel für die Rechnig do isch: $\textstyle \int _{0}^{2}x^{2}\mathrm {d} x$ (wobii x² für d Parabel-Gliichig y = x² schtoht)

Literatur

Lambacher/Schweizer et al.: Analysis