Ganzi Zaale

ℤ

Die ganze Zaale sin en Erwiterig vo de natüürlige Zaale.

Die ganzen Zahlen umfassen alli natüürlige Zaale und dene iiri additive Invärse

…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

D Mängi vo de ganze Zaale wird mit em Sümbol $\mathbb {Z}$ abkürzt (s „Z“ stoot für s dütsche Wort „Zaale“). S alternative Sümbol $\mathbf {Z}$ wird hüte weniger brucht; e Noochdäil vo däm Fettdruck-Sümbol isch, ass es vo Hand schwiiriger isch, es darzstelle. D Ufzelig vo de ganze Zaale oobe nooche zeigt iiri natüürligi Aaordning in ufstiigender Folg.

D Zaaletheorii isch dr Zwiig vo dr Mathematik, wo sich mit de Äigeschafte vo de ganze Zaale beschäfdigt.

Für d Daarstellig vo ganze Zaale im Kompiuter brucht mä mäistens dr Daatetüp Integer.

Die ganze Zaale wärde im Mathematikunderricht üübligerwiis in dr fümften bis sibte Klass iigfüert.

Äigeschafte

Die ganze Zaale as Ring

Die ganze Zaale bilde e Ring in Bezuug uf d Addizioon und d Multiplikazioon, d. h. si chönne ooni Iischränkig addiert, subtrahiert und multipliziert wärde. Rächereegle wie s Kommutativgsetz und s Assotiativgsetz si für d Addizioon und d Multiplikazioon gültig, usserdäm gälte au d Distributivgsetz.

Wil s d Subtrakzioon git, cha mä Lineari Gliichige vo dr Form

$a+x=b$

mit ganze Zaale $a$ und $b$ immer lööse: $x=b-a$. Beschränkt mä $x$ uf d Mängi vo de natüürlige Zaale, denn isch nit jedi sonigi Gliichig lösbar.

Abstrakt usdruckt häisst das, ass die ganze Zaale e kommutative unitäre Ring bilde. S nöitrale Elimänt vo dr Addizion isch 0, s additiv invärse Elimänt vo $n$ isch $-n$, s nöitrale Elimänt vo dr Multiplikazioon isch 1.

Aaordnig

D Mängi vo de ganze Zaale isch total gordnet, in dr Räijefolg

$\cdots <-2<-1<0<1<2<\cdots$

d. h. mä cha je zwäi ganzi Zaale vergliiche. Mä reedet vo positive $\{1,2,3,\ldots \}$, nitnegative $\{0,1,2,3,\ldots \}$, negative $\{\ldots ,-2,-1\}$ und nitpositive $\{\ldots ,-2,-1,0\}$ ganze Zaale. D Zaal 0 sälber isch weder positiv no negativ. Die Ordnig isch verdrääglig mit de Rächenoperazioone, d. h.

wenn $a<b$ und $c\leq d$ isch, denn isch $a+c<b+d$,

wenn $a<b$ und $0<c$ isch, denn isch $ac<bc$.

Wie d Mängi vo de natüürlige Zaale isch au d Mängi vo de ganze Zaale abzelbar.

Die ganze Zaale bilde käi Körper, denn z. B. isch d Gliichig $2x=1$ nit in $\mathbb {Z}$ lösbar. Dr chlinst Körper, wo $\mathbb {Z}$ entheltet, si die razionale Zaale $\mathbb {Q}$.

Euklidische Ring

E wichdigi Äigeschaft vo de ganze Zaale isch, ass es d Divisioon mit Räst git. Wäge dere Äigeschaft git s für zwäi ganzi Zaale immer e grösste gmäinsame Däiler, wo mä mit em Euklidische Algorithmus cha bestimme. Mathematiker sääge, ass $\mathbb {Z}$ en euklidische Ring isch. Dodrvo chunnt au dr Satz vo dr äidütige Primfaktorezerleegig in $\mathbb {Z}$.

Fuessnoote

Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Ganze_Zahl“ vu de dütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.