Zaalesüsteem

E Zaalesüsteem wird zur Daarstellig vo Zaale verwändet. Jeedes Zaalesüsteem het Reegle, wien e Zaal als e Folg vo Ziffere beziejingswiis Zaalezäiche daargstellt wird.

Die modärni Forschig underschäidet zwüsche additiven, hübride und posizionelle (Stellewärt-) Zaalesüsteem.

Addizionssüsteem

*

Wie die Alte Egüpter 4622 gschriibe häi

Im ene Addizionssüsteem wird e Zaal as Summe vo de Wärt vo iire Ziffere daargstellt. D Posizioon vo de äinzelne Ziffere spiilt drbii käi Rolle.

E Bischbil isch s Strichlisüsteem (Unärsüsteem), wo mä vilmol brucht, wenn mä öbbis will schriftlig mitzele (wie zum Bischbil d Getränk uf eme Bierdeckel). D Zaal $n$ wird doo mit $n$ Strichli daargstellt. Das isch vermuetlig äins vo de eltiste Zeelsüsteem überhaupt. S Unärsüsteem wird seer schnäll unübersichtlig, wemm mä gröösseri Zaale daarstellt. Dorum isch s mäistens üüblig, ass mä d Zaale in Blöck zämmefasst, zum Bischbil ass mä jeede fümft Strich kweer über die vier Äinzelstrich vornedraa schribt. S Ufzele isch also bi däm Süsteem seer äifach, was bi andere Süsteem im Allgemäine nit eso liicht ggot.

Hübridsüsteem

Mä schribt d Grundziffere vor em Zäiche, wo as Potänz von dr Basis gältet und die bäide Wärt wärde mitenander multipliziert. In de öiropäische Zaalesüsteem si sonigi Hübridsüsteem so guet wie nie vorchoo, in Mesopotamie aber scho sit em Aafang vom zwäite Joorduusig v. d. Z., spööter au z China und im Nooche Oste allgemäin. Sonigi Süsteem si au us Ethiopie, us Südindie und Sri Lanka und us dr Maya-Kultur bekannt.

Bischbil im japanisch/chinesische Zaalesüsteem

    23:  二十三  (2 × 10 + 3)
30.000:  三万    (3 × 10.000)

Stellewärtsüsteem

Im ene Stellewärtsüsteem (Posizionssüsteem) bestimmt d Stell (Posizion) vom Wärt vo dr jewiilige Ziffere. D Posizion mit em niidrigste Wärt stoot im Allgemäine rächts.

E Stellewärtsüsteem het e Basis $b$ (mä reedet au von e $b$-adische Zaalesüsteem). Jedi Ziffereposizion het e Wärt, wo dr Potänz vo dr Basis entspricht. Für die $n$-ti Posizion het mä e Wärt vo $b^{n}$ (wenn d Posizion mit em niidrigste Wärt mit 0 nummeriert isch).

Mä berächnet dr Wärt vo dr Zaal indäm mä die äinzelne Zifferewärt $z_{i}$ mit de Stellewärt $b^{i}$ wo zuene ghööre multipliziert und denn die Produkt zämmezelt:

Zaalewärt = $z_{n}\cdot b^{n}+\dotsb +z_{i}\cdot b^{i}+\dotsb +z_{0}\cdot b^{0}$

Äigeschafte

• Jedi ganzi Zaal $b\geq 2$ cha as Basis verwändet wärde. Die gängigste Base si 2 (Dualsüsteem), 8 (Oktalsüsteem), 10 (unser verdrauts Dezimalsüsteem) oder 16 (s Hexadezimalsüsteem, wo in der Informatik wichdig isch).
• Für d Daarstellig wärde Ziffere brucht, wo vo $0$ bis $b-1$ göön.
• D Posizion vo dr Ziffere bestimmt dr Stellewärt $b^{n}$.
• Zwäi Stellewärt nääbenenander underschäide sich um dr Faktor $b$.
• Dr Wärt vo dr Zaal isch s Resultat vom Zämmerächne vo alle Zifferewärt, wo zerst mit iirem entsprächende Stellewärt multipliziert worde si.
• Wenn dr niidrigst Exponänt uf 0 beschränkt isch, cha mä nume ganzi Zaale daarstelle. Wenn au negativi Exponänte mööglig si, cha mää alli razionale Zaale im ene Stellewärtsüsteem schriibe. Dr Übergang vom nitnegative zum negative Exponänt wird mit eme Drennzäiche markiert, zum Bischbil (uf Dütsch) mit eme Komma:

$1\cdot 10^{3}+2\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+4\cdot 10^{0}+5\cdot 10^{-1}+6\cdot 10^{-2}=1234{,}56$

• D Ziffere von ere razionale Zaal $p/q$ bechunnt mä mit em Verfaere vo dr schriftlige Division. Im Zääner-Süsteem reedet mä au von ere Dezimalbruch-Entwigglig. Wenn $q$ zur Basis $b$ däilerfremdi Primfaktore het, bricht die schriftligi Division nit ab, sondern liiferet e Folg vo Ziffer, wo sich widerhoolt. Dere Folg säit mä Periode und kennzäichnet sä mit Überstrich, z. B.

${\frac {1}{3}}=0{,}3333\dotso =0{,}{\overline {3}}.$

• D Basis $b$ muess nit umbedingt e natürligi Zaal si. Es isch bewiise worde, ass alli komplexe Zaale mit eme Betraag gröösser as 1 as Basis vom ene Stellewärtsüsteem chönne verwändet wärde. Au Zaalesüsteam mit gmischte Base si mööglig. Bischbil doodrfür findet mö in Knuth: The Art of Computer Programming.
• En anderi Daarstellig für razionali und irrazionali Zaale isch dr Chettibruch, wo mä mit em besseri Approximazione ünerchunnt as mit de Stellewärtsüsteem.

Litratuur

• Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. 2. Auflage. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1987, ISBN 3-593-33666-9. 
• John D. Barrow: Warum die Welt mathematisch ist. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1993, ISBN 3-593-34956-6. 

Weblingg

 Commons: Numeral systems – Sammlig vo Multimediadateie

• Onläin-Umrächner für verschiideni Zaalesüsteam (JavaScript)
• Onläin-Umrächner für verschiideni Zaalesüsteam (JavaScript)
• Onläin-Umrächner für verschiideni Zaalesüsteam (PHP)
• Es werde Zahl! – Der Ursprung des Rechnens. Artikel über d Gschicht vo de Zaalesüsteam mit Tabälle vo egüptische Zaalehieroglüfe, hieratische und Käilschrift-Zaale.
• Péter Burcsi, Attila Kovács: Algorithmic problems in the research of number expansions. Vortrag Graz 2007 (PDF; 3,1 MB)

Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Zahlensystem“ vu de dütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.