Die reelle Zaale

ℝ

Die reelle Zaale bilde e bedütende Zaaleberiich in dr Mathematik. Si si en Erwiterig vom Beriich vo de razionale Zaale, de Brüch, und Mässwärt für üübligi füsikalischi Gröösse wie zum Bischbil Lengi, Tämpratuur und Masse wärde as reelli Zaale ufgfasst. Die reelle Zaale häi de razionale Zaale gegenüber bsundrigi topologischi Äigeschafte. Die bestöön under anderem din, ass für jedes Brobleem, wo s für s im ene gwüsse Sinn beliebig gurti ;ööcherige für Löösige in dr Form vo reelle Zaale existiere, au e reelli Zaal as exakti Löösig existiert. Dorum cha mä sä in dr Analysis, dr Topologii und dr Geometrii vilsitig iisetze. Zum Bischbil cha mä Lengene und Flechiinhalt vo de verschiidenste geometrische Objekt sinnvoll as reelli Zaale definiere, aber nid öbbe as razionali Zaale. Wenn in empirische Wüsseschafte mathematischi Konzept – wie zum Bischbil Lengene – zur Beschriibig iigsetzt wärde, spiilt dorum au dört d Theorii vo de reelle Zaale vilmol e wichdigi Rolle.

D Iidäilig vo de reelle Zaale

D Zaalegraadi

D Mängi vo de reelle Zaale entspricht dr Mängi vo allne Pünkt vo dr Zaalegraade. Für zum sä z bezäichne wird s Sümbol $\mathbb {R}$ (au $\mathbf {R}$, Unicode U+211D: ℝ) verwändet. Die reelle Zaale wärde underschiide in:

• razionali Zaale – $\mathbb {Q} =\left\{\dots ,-{\tfrac {2}{1}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{1}},0,{\tfrac {1}{1}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{1}},{\tfrac {1}{3}},\dots \right\}=\left.\left\{{\tfrac {p}{q}}\right|p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} \setminus \{0\}\right\}$
  • ganzi Zaale – $\mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$.
    • natüürligi Zaale – $\mathbb {N}$ (ohne 0): $\{1,2,3,\dots \}$ oder (mit 0): $\{0,1,2,3,\dots \}$ (au $\mathbb {N} _{0}$).
• irrazionali Zaale – $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ = d Mängi vo alle Elimänt vo $\mathbb {R}$, wo nit in $\mathbb {Q}$ lige. Die cha mä iidäile in:
  • irrazionali algebraischi Zaale und
  • dranzzändäntali Zaale.

Konstrukzion vo de reelle Zaale us de razionale Zaale

• D Daarstellig as Dedekindschi Schnitt vo razionale Zaale: Drbii wärde die reelle Zaale as chliinsti oberi Schranke vo Säilmänge vo de razionale Zaale definiert, wo gege oobe beschränkt si.
• D Daarstellig as Ekwiwalänzklasse vo Cauchy-Folge: Die Konstrukzioon isch hüte am verbräitetste und goot woorschinlig uf e Georg Cantor zrugg, wo die reelle Zaale as Ekwiwalänzklasse vo rationale Cauchy-Folge definiert het. Drbii gälte zwäi Cauchy-Folge as ekwiwalänt, wenn iiri (punktwiise) Differänze e Nullfolg bilde.

D Addizioon und Multiplikazioon, wo dur die razionale Zaale induziert wird, isch wooldefiniert, das häisst unabhängig vo wie dr Representant usgweelt wird. Mit deene wooldefinierte Operazioone bilde die reelle Zaale e Körper. Au e totali Ordnig wird dur die razionale Zaale induziert. Die reelle Zaale bilde eso e gordnete Körper.

• D Daarstellig as Ekwiwalänzklasse vo Interwallschachtlige vo rationale Interwall.
• D Vervollständigung vo de topologische Grubbe vo de razionale Zaale in däm Sinn, ass die kanonischi uniformi Struktur vervollständigt wird.

D Konstrukzioon vo de reelle Zaale us dr euklidische Geometrii

Mä goot vo räin geometrische Begriff wie Pünkt, Graadi und Ebenene us und cha eso reelli Zaale as Verheltniss vo Gröössene vo Strecke definiere. As Usgangspunkt nimmt mä z. B. im Hilbert si Axiomesüsteem vo dr euklidische Geometrii. Näbe de geometrische Axiom isch drbii bsundrigs e Wariante vom des archimedische Axiom als "Axiom vom Mässe" vo Bedütig und e "Vollständigkäitsaxiom", wo säit, ass mä käini Pünkt cha drzue nee, ooni dass d Axiom verletzt wärde.

D Mächdigkäit vo $\mathbb {R}$

D Mächdigkäit vo $\mathbb {R}$ wird mit ${\mathfrak {c}}$ (Mächdigkäit vom Kontinuum) bezäichnet. Si isch gröösser as d Mächdigkäit vo dr Mängi vo de natürlige Zaale, wo as chliinsti unändligi Mächdigkäit $\aleph _{0}$ häisst. D Mängi vo de reelle Zaale isch dorum überabzelbar. E Bewiis dass si überabzelbar isch, isch im Cantor si zwäits Diagonalargumänt. Informell bedütet „Überabzelbarkeit“, ass jedi Liste $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ vo reelle Zaale unvollständig isch. Wil d Mängi vo de reelle Zaale gliichmächdig zu dr Potänzmängi vo de natürlige Zaale isch, git mä iiri Mächdigkäit au mit $2^{\aleph _{0}}$ aa.

Litratuur

• Oliver Deiser: Reelle Zahlen - Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. Springer-Verlag, 2007, ISBN 3-540-45387-3
• Otto Forster: Analysis 1. Differential und Integralrechnung einer Veränderlichen. 4. Uflaag. vieweg, 1983, ISBN 3-528-37224-9
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2
• John M. H. Olmsted: The Real Number System. Appleton-Century-Crofts, New York 1962. 
• Der kleine Duden "Mathematik". 2. Auflage. Dudenverlag, Mannheim [u. a.] 1996, ISBN 3-411-05352-6. 

Weblingg

 Wikibooks: Analysis - Reelle Zahlen — Lern- und Lehrmaterialie

• L. D. Kudryavtsev: Real number. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Eric W. Weisstein: Real number. In: MathWorld (änglisch).